PEUBAH ACAK DAN DISTRIBUSI PELUANG 2020

PEUBAH ACAK DAN DISTRIBUSI PELUANG

2.1 Pengertian Peubah Acak

Bidang statistika berurusan dengan penarikan inferensi tentang populasi dan sifat populasi. percobaan yang di lakukan member hasil yang memungkinkan. Pengujian suku cadang elektronik merupakan suatu contoh percobaan statistika, suatu istilah yang memerikan setiap proses yang menghasilkan pengamatan yang berkemungkinan. Sering kali amat penting mengaitkan suatu bilangan sebagai pemerintah hasil tersebut. Sebagai contoh,ruang sampel yang memerikan secara rinci setiap kemungkinan hasil bila tiga suku cadang elektronik di uji dapat di tulis sebagai berikut.

T = ( BBB,BBC,BCB,CBB,BCC,CBC,CCB,CCC ).

Bila B menyatakan ‘baik‘ dan C menyatakan ‘cacat’ tentunya kita ingin mengetahui berapa banyaknya cacat yang terjadi. jadi setiap titik di ruang sampel akan dikaitkan dengan suatu bilangan 0, 1, 2, atau 3. Bilangan ini. ternyata,besaran acak yang ditentukan oleh hasil percobaan. Bilangan ini dapat di pandang sebagai nilai yang dicapai oleh peubah acak,x,banyaknya barang yang cacat bila tiga suku cadang elektronik diuji.

Definisi 2.1 : peubah acak ialah suatu fungsi yang mengaitkan suatu bilangan real pada setiap unsure dalam ruang sempel.

Peubah acak akan di nyatakan dengan huruf besar, misalnya X, sedangkan nilainya di nyatakan dengan huruf kecil padannya, misalnya x, Dalam contoh suku cadang elektronik tadi, peubah acak X. mendapat nilai 2 untuk semua unsur pada himpunan bagian.

E = ( CCB,CBC,BCC )

Dari ruang sampel T. tadi, tiap kemungkinan nilai X menggambarkan suatu kejadian yang merupakan ruang bagian dari ruang sampel perconaan tersebut.

contoh 2.1

Dua bola diambil satu demi satu tanpa di kembalikan dari suatu kantung berisi 4 bola merah dan 3 bola hitam. Bila Y menyatakan jumlah bola merah yang di ambil makanilai y yang mungkin dari peubah acak Y adalah

Ruang sampel	y
ABB ACB BAC BCA CAB CBA	3 1 1 0 0 1

Contoh 2.2

Tiga orang petani: Pak Ali, Badu, dan Cokro menitipkan pecinya di pagi hari pada seorang anak. Sore harinya si anak mengembalikan peci tersebut secara acak pada ketiga petani. Bila Pak Ali , Badu, dan Cokro dalam urutan seperti itu menerima peci dari si anak , maka tuliskanlah titik sampel untuk semua urutan yang mungkin mendapatkan peci tersebut dan kemudian mencari nilai c dari peubah acak C yang menyatakan jumlah urutan yang cocok.

jawab

Bila A, B dan C menyatakan masing – masing peci Pak Ali ,Badu dan Cokro maka susunan pengambilan peci yang mungkin dan padannya yang cocok (c) adalah

Ruang sampel	c
ABC ACB BAC BCA CAB CBA	3 1 1 0 0 1

Dalam kedua contoh di atas ruang sanpel mengandung jumlah anggata yang berhingga akan tetapi, bila satu dadu di lantunkan sampai angka 5 muncul ,maka di proleh ruang sampel dengan deretan dengan anggota yang tak berhingga.

T = {L,BL,BBL,BBBL, ….}

Dengan L menyatakan munculnya 5 dan B bukan 5 yang muncul. Tetapi dengan cobaan ini pun banyaknya unsure dapat di samakan dengan seluruh bilangan bulat sehingga terdapat unsure pertama, kedua, ketiga,dan seluruhnya, jadi dapat di baca.

Definisi 2.2 jika suatu ruang sampel mengandung titik yang berhingga banyaknya atau sederhana anggota yang banyaknya sebanyak bilanganbulat, maka ruang sampel itu di sebut ruang sampel diskret.

Hasil suatu percobaan statistika mungkin saja takberhingga ataupun tak terhitung. Contoh seperti itu, misalnya, penelitian mengenai jarak yang di tempuh bila suatu mobil merek tertentu di jalankan pada jalan tertentu dengan 5 liter bensin. bila di misalkan jarak suatu peubah yang di ukur dengan suatu derajat ketelitian tertentu maka jelas bahwa kemungkinan jarak yang di tempuh dalam ruang sampel takberhingga banyaknya sehingga tidak mungkin dengan banyaknya bilangan bulat. Begitupun,bila kita ingin mencatat lamanya waktu yang di perlukan oleh suatu reaksi kimia maka sekali lagi yang dapat di buat untuk ruang sampel tidak selalu diskret.

Definisi 2.3 bila ruang sampel mengandung titik sampel yang takberhingga banyaknya dan banyaknya sebanyak titik pada sepotong garis, maka ruang sampel itu di sebut ruang sampel kontinu.

Suatu peubah acak di sebut peubah acak diskret bila himpunan kemungkinan hasilnya terhitung. Karena kemungkinan nilai y pada contoh 2.1 adalah 0,1 dan 2 dan kemungkinan nilai c di contoh 2.2 adalah 0,1 dan 3 maka Y dan C peubah acak diskret peubah acak yang dapat mempoleh semua nilai pada skala kontinu di sebut peubah dengan nilai suatu peubah acak kontinu tepat sama dengan niali ruang sampel kontinu. sering pula kemungkinan nilai suatu peubah acak kontinu tepat sama dengan nilai pada ruang sampel kontinu. Hal ini terjadi misalnya bila peubah acak menggambarkan jarak tempuh suatu mobil merek tertentu pada suatu uji jalan menggunakan 5 liter bensin.

Dalam kebanyakan persoaalan praktis, peubah acak kontinu menyatakan data yang di ukur, seperti seluruh kemungkinan tinggi, berat, temperatur, jarak, atau jangka hidup, sedangkan peubah acak diskret menggambarkan data cacah, seperti banyak barang yang cacat dalam sampel sebesar k barang atau banyak korban meninggal didalam suatu jalan raya pertahun. Perhatikan bahwa peubah Y dan C contoh 2.1 dan 2.2. menyatakan data cacah, y menyatakan banyaknya bola merah, sedangkan C banyaknya padanan topi yang cocok yang di berikan oleh anak berturut – turut kepada pak Ali ,Badu ,Cokro.

2.2 Distribusi peluang diskret

Suatu peubah acak diskret setiap nilainya dengan peluang tertentu. Dalam kasus melantunkan suatu mata uang tiga kali, peubahacak X yang menyatakan banyaknya muka yang muncul, mendapatkan nilai 2 dengan peluang 3/8, karna 3 dari 8 hasil kemungkinan sama memberikan dua muka dan satu belakang. Bila kejadian sederhana padacontoh 2.2 di beri bobot sama maka peluang bahwa tidak ada petani yang menerima kembali topinya yang benar, yaitu peluang bahwa C nilai 0 adalah 1/3 kemungkinan nilai c dan C dan peluangnya ,di berikan oleh.

c	0	1	3
P(C = c)

Perhatikan bahwa c mencapai semua kemungkinan nilai sehingga peluangnya berjumlah 1.

Sering lebih mudah bila semua peluang suatu peubah acak X dinyatakan dalam suatu rumus. Rumus seperti itu tentunya merupakan fungsi nilai numerik x yang akan dinyatakan f(x),g(x),r(x),dst. Jadi ditulis f(x) = P(X=x); yaitu f(3) = P(X= 3). Himpunan pasangan terurut (x, f(x)) disebut fungsi peluang atau distribusi peluang peubah acak diskret X.

Definisi 2.4 : Himpunan Pasangan Terurut (x, f(x)) merupakan suatu fungsi peluang, fungsi masa peluang, atau distribusi peluang peubah acak diskret X bila, untuk setiap kemungkinan hasil x.

1. f(x) ≥ 0

= 1

3. P(X=x) = f(x)

Contoh 2.3

Suatu pengiriman 8 komputer pc yang sama ke suatu toko mengandung 3 yang cacat. Bila suatu sekolah membeli 2 komputer ini secara acak, cari distribusi peluang banyaknya yang cacat.

Jawab :

Misalkan X peubah acak dengan nilai x kemungkinan banyaknya computer yang cacat yang dibeli sekolah tersebut. Maka x dapat memperoleh setiap nilai 0, 1, dan 2. sekarang ,

f(0) = P(X=0) =

f(1) = P(X=1) =

f(2) = P(X=2) =

jadi distribusi peluang X

x	0	1	2
*f(x)*

Contoh 2.4

Bila 50 % mobil yang dijual oleh suatu agen bermesin diesel, cari rumus distribusi peluang banyaknya mobil bermesin diesel bagi ke 4 mobil berikutnya yang dijual oleh agen tersebut.

Jawab :

Karena peluang mobil bermesin diesel atau bensin 0,5 ; ke

= 16 titik pada ruang sampel mempunyai peluang yang sama. Jadi, pembagi untuk semua peluang, dan juga untuk fungsi peluang, adalah 16. Untuk mencari banyaknya cara menjual 3 mobil bermesin diesel, diperlukan memandang banyaknya cara membagi 4 hasil menjadi dua bagian dengan 3 mobil bermesin diesel pada suatu bagian dan bermesin bensin untuk yang lainnya. Ini dapat dibuat dalam

= 4 cara. Umumnya , kejadian menjual x mobil bermesin diesel dan 4-x bermesin bensin dapat terjadi dalam

cara, x bernialai 0,1,2,3, dan 4. Jadi distribusi peluang f(x) = P(X=x) adalah

f(x) =

untuk x = 1,2,3,4.

Dalam banyak soal diperlukan menghitung peluang bahwa nilai amatan peubah acak X akan lebih kecil atau sama dengan suatu bilangan real x. Bila F(x) = P(X≤x) untuk setiap bilangan real x, namakan F(x) sebagai distribusi kumulatif/tumpukan peubah acak X.

Definisi 2.5 : distribusi kumulatif f(x) suatu peubah acak diskret X dengan distribusi peluang f(x) dinyatakan oleh

F(x) = P(X≤x) =

untuk

< x <

Untuk peubah acak C, jumlah pasangan yang benar di contoh 2.2,

F(2,4) = P(C

2,4) = f(0) + f(1) =

Distribusi kumulatif C diberikan oleh

F(c) =

Perlu diperhatikan secara khusus bahwa distribusi kumulatif tidak hanya didefinisikan pada nilai yang dicapai oleh peubah acak tetapi pada semua bilangan real.

Contoh 2.5

Hitunglah distribusi kumulatif peubah acak X dalan contoh 2.4 dengan menggunakan F(x), perlihatkan bahwa F(2) =

Jawab :

Dengan menghitung langsung distribusi peluang pada contoh 2.4 diperoleh f(0) =

, f(1) =

, f(2) =

, f(3) =

, dan f(4) =

. Jadi

F(0) = f(0) =

F(1) = f(0) + f(1) =

F(2) = f(0) + f(1) + f(2) =

F(3) = f(0) + f(1) + f(2) + f(3) =

F(4) = f(0) + f(1) + f(2) + f(3) + f(4) = 1

f(x) =

sekarang = F(2) – F(1) =

Sering menolong bila distribusi peluang digambarkan dalam bentuk grafik (x, f(x)) dalam contoh 2.4 dapat digambarkan seperti pada gambar 2.1. bila semua titik itu dan sumbu x dihubungkan dengan ririt (garis putus-putus) atau garis tebal maka apa yang disebut dengan diagram batang atau balok. Gambar 2.1 memperlihatkan dengan jelas nilai X yang paling besar kemungkinannya terjadi, dan dalam kasus ini menunjukkan bentuk yang setangkap sempurna.

f(x)

6/16

5/16

4/16

3/16

2/16

1/16

0 1 2 3 4

Orang lebih sering menggambarkan persegi panjang seperti pada 2.2 dari pada menggambarkan titik (x, f(x)) . persegi panjang ini dibuat sedemikian rupa sehingga alasnya yang sama panjang mempunyai titik tengah tiap nilai x dan tingginya sesuai dengan peluang yang sesuai yang diberikan oleh f(x). Alasnya dibuat sedemikian rupa sehingga sisi dua persegi panjang yang berdampingan bersatu. Gambar 2.2 disebut histogram peluang.

f(x)

6/16

5/16

4/16

3/16

2/16

1/16

0 1 2 3 4

Karena lebar tiap alas sama dengan satu pada gambar 2.2 maka P(X=x) menyatakan luas persegi panjang yang titik tengahnya x. Kendati lebar alasnya tidak satu, tinggi persegi panjang masih dapat diukur sehingga luasnya masih sama dengan peluang X mendapat setiap nilai x. Konsep penggunaan luas untuk menyatakan peluang diperlukan dalam pembahasan distribusi peluang peubah acak kontinu.

Grafik distribusi kumulatif contoh 2.5 ynag merupakan fungsi tangga seperti pada gambar 2.3 diperoleh dengan menggambarkan jumlah titik (x,F(x)).

Suatu distribusi peluang dapat menggambarkan lebih dari satu peristiwa. Distribusi peluang pada contoh 2.4, misalnya , berlaku untuk peubah acak Y, bila Y menyatakan banyaknya muka yang muncul bila satu mata uang dilantunkan 4 kali, atau untuk peubah acak W, bila W menyatakan banyaknya kartu merah yang muncul bila empat kartu diambil secara acak dari suatu kotak kartu bridge secara berurutan, tiap kartu dikembalikan dulu lalu kartu dikocok kembali, baru kartu berikutnya diambil. Distribusi diskret khusus yang dapat dipakai pada banyak situasi percobaan berlainan akan dibicarakan.

f(x)

3/4

1/2

1/4

0 1 2 3 4