Structur Aljabar 3 Tahun 2020

Bila didefinisikan Q(√2 ) = { a + b √2 │a, b dalam Q } maka akan dibuktikan bahwa Q(√2 ) merupakan ring bagian dari R.
Karena Q himpunan yang tidak kosong maka jelas bahwa Q(√2 ) juga himpunan yang tidak kosong.
Terhadap operasi pergandaan bersifat
( a + b √2 ) ( c + d √2 ) = ( ac + 2bd ) + ( ad + bc ) √2
dan terhadap operasi pengurangan bersifat
( a + b ) √2 – ( c + d ) √2 = ( a – c ) + ( b – d ) √2
Karena ac + 2bd, ad + bc, a – c dan a – d tetap dalam Q maka hasil pergandaan dan hasi pengurangannya tetap dalam Q (√2 ).
Oleh karena itu Q (√2 ) merupakan ring bagian dari R.
Perlu dicatat bahwa Q (√2 ) similar dengan himpunan bilangan kompleks
C = { a + b i │a, b dalam R }

Karena bentuk a + b i analog dengan bentuk a + b√2 dan dalam hal ini ring Q ( √2 ) mengandung Q, seperti juga C mengandung R.

Buktikan bahwa himpunan Zn = {0, 1, 2, . . ., n-1} merupakan ring.
Bukti :
Untuk membuktikan bahwa Zn merupakan ring dilakukan dengan cara menemukan suatu fungsi yang menyatakan relasi antara Zn dengan ring Z. Bila fungsi yang didapat tersebut mengawetkan operasi maka peta dari fungsi mermpunyai sifat-sifat yang sama dengan darah asal (domain) dari fungsi.
Misalkan f : Z → Zn dengan f (x) = r dan r merupakan sisa pembagian bila x di bagi n. Dalam contoh sudah dibuktikan bahwa f mengawetkan operasi +. Bila diambil sebarang x, y dalam Z maka:
x = nq1 + r1 dan y = nq2 + r2 untuk suatu q1, q2, r1 dan r2 dalam Z
sehingga:
xy = (nq1 + r1) (nq2 + r2 ) = n(nq1 + r1 + nq2 + r2) + r1 r2 dan r1 r2 dapat dinyatakan sebagai nq + r.
Akibatnya:
xy = n (n q1 q2 + q1 r2 + r1 q2 + q) + r.
Oleh karena itu, f (xy) = r dan f (x) f (y) = r1 r2 .
Dengan mengingat definisi perkalian dalam Zn maka , r1 r2 = r dan berarti f(xy) = f(x) f(y)

Karena f mengawetkan operasi penjumlahan dan penggandaan maka berakibat Zn ring

Misalkan P himpunan bilangan bulat kelipatan 3. Tunjukan bahwa dengan operasi penjumlahan dan perkalian pada himpunan bilangan bulat, P membentuk ring komutatif.

Jawaban:

P = {3x|x ∈ Z }
Langkah pertama kita harus menunjukkan bahwa P grup komutatif terhadap operasi penjumahan.

1. Ambil sebarang a = 3x dan b = 3y ∈  P. Akan ditunjukkan a+b ∈  P.
   Perhatikan :
   a+b = 3x + 3y = (x+x+x) + (y+y+y)
   = (x+y) + (x+y) + (x+y)
   = 3(x+y)
   Karena x+y ∈  Z, maka a+b ∈  P
2. Ambil sebarang a = 3x dan b = 3y ∈  P. Akan ditunjukkan a+b = b+a
   Perhatikan:
   a+b = 3x + 3y = 3(x+y)
   = 3(y+    x)
   = 3y + 3x
   = b + a
3. Ambil sebarang a = 3x, b = 3y dan c = 3z ∈  P. Akan ditunjukkan (a+b)+c = a+(b+c)
   Perhatikan:
   a+(b+c) = 3x + (3y + 3z)
   = 3x + 3(y+z)
   =3(x+ (y+z))
   = 3((x+y) + z)
   = 3(x+y) + 3z
   = (3x + 3y) + 3z
   = (a+b) + c
4. Perhatikan bahwa 0 < Z, pilih 3.0 = 0 < P.
   Ambil sebarang a = 3x  P. Akan ditunjukkan 0 adalah unsur nol dalam P.
   Perhatikan:
   a + 0 = 3x + 3.0
   = 3(x+0)
   = 3x
   = a
   Ini berarti 0 unsur nol dalam P.
5. Ambil sebarang a = 3x ∈  P. Pilih b = 3(-x) ∈  P. Akan ditunjukkan –(3x) = 3(-x)
   Perhatikan:
   3(x) + 3(-x) = 3(x+(-x))
   = 3.0
   = 0
   Jadi –(3x) = 3(-x)

Langkah berikutnya menunjukkan bahwa P semigrup terhadap operasi perkalian.

1. Ambil sebarang a = 3x dan b = 3y ∈  P. Akan ditunjukkan a.b ∈  P.
   Perhatikan:
   a .b = 3x . 3y
   = 3. 3xy
   = 3(3xy)
   Karena 3xy ∈  Z, maka a.b ∈  P.
2. Ambil sebarang a = 3x, b = 3y dan c = 3z ∈  P. Akan ditunjukkan a.(b.c) = (a.b).c
   Perhatikan:
   a.(b.c) = 3x(3y . 3z)
   = 3x(3(3yz))
   = 3.3.3(x(yz))
   = 3.3.3((xy)z)
   = 3.3(xy) . 3z
   = (3x . 3y). 3z
   = (a.b). c

Langkah berikutnya menunjukkan bahwa P distributif perkalian terhadap penjumlahan.

1. Ambil sebarang a = 3x, b = 3y, c = 3z ∈  P. Akan ditunjukkan a(b+c) = a.b + a.c dan (b+c)a = b.a + c.a
   Perhatikan:
   a(b+c) = 3x(3y + 3z)
   = 3x(3(y + z))
   = 3.3(x(y + z))
   = 3.3(xy + xz)
   = 3.3xy + 3.3xz
   = a.b + a.c(b+c)a = (3y + 3z). 3x
   = ((y+z)3). 3x
   = ((y+z)x)3.3
   = (yx + zx)3.3
   = 3.3yx + 3.3zx
   = 3y.3x + 3z.3x
   = b.a + c.a

Langkah merikutnya menunjukkan bahwa P bersifat komutatif.

1. Ambil sebarang a = 3x dan b = 3y ∈  P. Akan ditunjukkan a.b = b.a
   Perhatikan:
   a .b = 3x. 3y
   = 3.3xy
   = 3.3yx
   = 3y. 3x
   = b.a

Tweet

Subscribe to receive free email updates: