Structur Aljabar 1 Tahun 2020

·  Diketahui R ring komutatif dengan elemen satuan.

Masing-masing I dan J merupakan ideal pada R, selidiki apakah I ∩J dan I+J juga merupakan ideal pada R !    

·  Z = himpunan dari bilangan-bilangan bulat terhadap penjumlahan dan perkalian biasa merupakan ring.

Jika m suatu bilangan bulat dengan m ≠ 0 , tunjukkan bahwa M = {ma | a bilangan bulat} merupakan ideal dari Z !    

1. Karena I dan J masing-masing merupakan ideal, maka 0 ϵ I, J dan akibatnya 0 ϵ I ∩ J .

Dengan demikian I ∩ J ≠ ø.

Ambil sebarang a,b ∩ J , maka a,b ϵ I dan a,b ϵ J .Karena I dan J merupakan ideal, maka a – b ϵ I dan a – b ϵ J

 Dengan demikian a – b ϵ I ∩ J .

Ambil sebarang a ϵ I∩J, maka aϵ I dan aϵJ. Karena I dan J ideal,maka untuk sebarang r ϵ R , berlaku ar = ra ϵ I dan ar = ra ϵ J.

Dengan demikian ar = ra ϵ I ∩ J .

Jadi, terbukti bahwa I ∩J merupakan ideal pada R. 

Perhatikan bahwa I + J = {x + y , x ϵ I, yϵ J}. Karena I dan J masing-masing merupakan ideal, maka 0 ϵ I,J dan akibatnya 0 = 0 + 0 ϵ I + J .

Dengan demikian I + J ≠ ø.

Ambil sebarang a,b ϵ I + J , maka a = x1 + y1 dan b = x2 + y2
untuk suatu x1 , x2 ϵ I dan y1, y2 ϵ J . Karena I dan J merupakan ideal, maka x1 – x2 ϵ Idan y1 – y2 ϵ J .

Dengan demikian a − b = (x1 + y1) – (x2 + y2) = (x1 − x2) + (y1 − y2) ϵ I + J .

Ambil sebarang a ϵ I + J , maka a = x1 + y1 , untuk suatu x1 ϵ I dan y1 ϵ J. 

Karena I dan J ideal, maka untuk sebarang r ϵ R, berlaku x1 r = rx1 ϵ I dan y1 r = ry1 ϵ J.

Dengan
demikian ar = x1 r + y1 r = rx1 + ry1 = ra ϵ I+J .

Jadi, terbukti bahwa I + J merupakan ideal pada R.

    5. jawab :

Berdasarkan soal, sudah jelas bahwa M Ì Z, M ¹ f, selain itu juga dapat dicermati bahwa :

Berlaku  " x, y Î M berarti x = ma, y = mb untuk suatu a, b Î Z dan a – b Î Z, sehingga x – y = ma – mb = m(a – b) Î M

Berlaku  " r Î M, "xÎ M rx = r(ma) = m(ra) Î M karena ra Î Z.

Kesimpulan : terbukti bahwa M ideal dari Z

Tweet

Subscribe to receive free email updates: