Structur Aljabar 2 Tahun 2020

·  Buktikan bahwa, misal g homomorfisma dari G→G*, maka g(e)=e* dengan e elemen identitas G dan e* elemen identitas G* !

·  Jelaskan alasan bahwa pemetaan g dari Z ke Q – {0} yang di definisikan g(x) = 2x, untuk setiap x ϵ z adalah sebuah homomorfisma !

·  (Q,+,*) adalah ring dengan operasi penjumlahan biasa dan perkalian * yang didefinisikan, "x, yÎQ, x*y = xy/2.

jika didefinisikan pengaitan f dari ring Z ke Q, sebagai berikut : "aÎZ, f(a) = 2a, maka tunjukkan bahwa f adalah suatu homomorfisma.

1.      Diketahui bahwa elemen identitas dalam G adalah e, maka untuk setiap x ϵ G berlaku xe = ex = x, berlaku:

g(xe)                 = g(x)                   atau g(ex)        = g(x) g fungsi

g(x)g(e)            = g(x)                    g(e)g(x)           = g(x) g homomorfisma

g(x)-1g(x)g(e)    = g(x)-1g(x)           g(e)g(x)g(x)-1    = g(x)g(x)-1

e*g(e)        = e*                                        g(e)e*    = e*

g(e)        = e*                                               g(e)    = e*

kesimpulan : terbukti bahwa untuk setiap g homomorfisma berlaku g(e)=e* dengan e elemen identitas G dan e* elemen identitas G*

2. jawab :

Alasannya adalah :

1. g sebuah fungsi, dimana untuk setiap x,y ϵ Z x berlaku jika x = y, maka

g(x) = 2x = 2y = g(y)

2. g sebuah homomorfisma, dimana untuk setiap x,y ϵ Z berlaku g(x+y) =2x+y = 2x 2y = g(x)g(y)

3. jawab :

Untuk membuktikan f adalah homomorfisma, maka harus ditunjukkan :

a) f fungsi : ("a, bÎ Z) a = b Þ f(a)=f(b) Î Z

Ambil sebarang a,b Î Z, dengan a = b Þ 2a = 2b sifat dalam Z Þ f(a) = f(b) def. F

b) f homomorfisma : ("a, bÎZ) i. f(a+b) = f(a) + f(b); f(ab)= f(a)*f(b)

Ambil sebarang a, b Î Z, maka :

i. f(a+b)     = 2(a+b)    definisi f

       = 2a + 2b    sifat di Z

       = f(a)+f(b)    definisi f

ii. f(a+b)     = 2(ab)         definisi f

        = (2a)(2b)/2        sifat di Z

        = (2a)*(2b)        definisi * di Q

        = f(a)*f(b)        definisi f

Tweet

Subscribe to receive free email updates: